《徐利治谈数学哲学》读书笔记20090711

——数学直觉层次性初探

P131.直觉一词是外来语，来源于日语“直觉”，是对“intuition”的意译，指未经过充分逻辑推理和研究的直观，它是以已经获得的知识和积累的经验为依据的。有时指感性直观，有时指非逻辑的，直接领悟事物本质的思考，有时意味着不够严格的，不完全的思维，有时它意味着笼统地、综合性的整体判断，有时又被理解为“顿悟”，理解为灵感的闪现。

P132.我们认为，直觉是对事物本质的直接领悟或洞察，数学直觉是对于数学对象（结构及其关系）的某种直接领悟或洞察。这是一种不包含普通逻辑推理过程的直接悟性，属于非形式逻辑的思维活动范畴。有时是“顿悟”，有时是“渐悟”的。是在无意中产生的，直接指向数学对象的本质。

所谓数学直觉的层次性，指的是人们获得数学直觉的能力存在上的差异。这一点是由数学认识活动的主体和客体两个方面决定的。认识主体的数学直觉能力层次，要根据认识客体的抽象程度加以衡量。反过来，对于数学认识客体的抽象程度理解到何种层次，取决于认识主体数学直觉能力的强弱。

P136.从数学直觉在数学认知活动中的作用来考察，可以把它划分为辨识直觉、关联直觉和审美直觉这三种类型。辨识直觉解决的是一个新想法是否有价值，是否值得去发展的问题。关联知觉解决的是不同知识领域（包括已知知识领域和未知知识领域）之间内在联系的问题。审美直觉解决的是新想法是否符合数学美的要求问题。

辨识知觉的对象是具体数学问题之研究。它需要识别哪一种研究思路较有价值、较为可靠，也就是要解决数学研究中的“真”与“善”的问题。数学真理可大体上划分为“逻辑合理性”、“模式真理性”和“现实真理性”三个层次。

关联直觉较之于辨识直觉居于更高层次，具备一定的思想跨度。

审美直觉是比关联直觉和辨识知觉层次更高的直觉类型。

P138.有些数学家认为，数学的简单性、统一性、对称性、奇异性等本身就是数学美的内容。据有简单性、统一性、对称性、奇异性的数学对象与其背景反差越大，则显得越美，越具有吸引力。

P139.影响数学直觉能力的主要因素有以下几个方面。

（1） 知识基础的状况

数学直觉是在已有的知识素材基础上产生的，知识基础的稳固性，影响着数学直觉认识的可靠性；知识基础的“宽度”，影响着数学直觉，特别是关联直觉的思想跨度。

（2）经验与训练

数学直觉的层次性，同已往的经验有密切关系。而数学直觉能力是可以通过自觉训练而提高的。数学直觉能力可以说是人的一种与生俱来的能力，但它必须通过积累实践经验方能发挥作用。在数学教育的各个阶段注重训练数学直觉能力是十分重要的。积累数学直觉经验，贵在多想多练，反复体会。由于数学直觉是“悟”出来的，其中的过程难以用逻辑思维的言语讲清楚，所以训练直觉能力不能像讲授数学知识那样进行。提高这种能力要靠引导和必要的支点，但关键在于亲身实践，自己总结经验。在同样的知识基础上，在同样的时间内，一个人实践的次数越多，效率越高，越能使自己的数学直觉能力进入到较高层次。

（3）认识主体的思维品质

只有对要解决的问题抱有浓厚的兴趣，经过专心的思考，是思想渐入饱和状态，达到获得关键性观念的边缘，才能够产生顿悟或渐悟，使直觉能力发挥作用。就数学直觉能力而言，从猜测、想象、模拟等发散思维中获益更多一些。

（4）主体审美意识水平

审美意识水平的提高是促进各种类型的数学直觉能力的提高的重要因素。